В трапеции ABCD основаниями являются AD и BC, AB перпендикулярно AD, AD=16,AB=8,BC=4. Найдите угол между диагоналями

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Hs5EKj).

Из прямоугольного треугольника АВС определим длину гипотенузы АС по теореме Пифагора.

АС² = АВ² + ВС² = 64 + 16 = 80.

АС = 4 * √5 см.

Из прямоугольного треугольника АВД определим длину гипотенузы ВД.

ВД² = АВ² + АД² = 64 + 256 = 320.

ВД = 8 * √5 см.

Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам.

Пусть длина отрезка ВО = Х см, тогда ДО = (8 * √5 – Х) см.

Тогда ВС / АД = Х / (8 * √5 – Х).

АД * Х = ВС * 8 * √5 – АД * Х.

16 * Х = 4 * 8 * √5 – 4 * Х.

20 * Х = 32 * √5.

Х = ВО = 1,6 * √5 см.

Аналогично вычислим длину СО.ВС / АД = Х / (4 * √5 – Х).

16 * Х = 16 * √5 – 4 * Х.

20 * Х = 16 * √5 см.

Х = СО = 0,8 * √5 см.

В треугольнике ВОС используем теорему косинусов.

ВС² = ВО² + СО² – 2 * ВО * СО * CosO.

16 = 12,8 + 3,2 – 2 * 64 * CosO.

CosO = (16 – 16) / 128 = 0.

Угол ВОС = Arcos0 = 90⁰.

Ответ: Угол пересечения диагоналей равен 90⁰.