Высота правильной треугольной пирамиды равна 12 см. Двугранный угол при основании равен 30 градусов.Найти объем пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2tQHHCL).

Двугранный угол при основании есть угол АНД между высотой АН основания треугольника и высотой ДН боковой грани ВСД. Тогда, в прямоугольном треугольнике ДОН, катет ОД лежит против угла 30⁰, а следовательно, ДН = 2 * ОД = 2 * 12 = 24 см.

Тогда, по теореме Пифагора, ОН² = ДН² – ОД² = 576 = 144 = 432.

ОН = 12 * √3 см.

Отрезок ОН есть радиус вписанной в треугольник АВС окружности, который равен:

ОН = ВС * √3 / 6, тогда ВС = 6 * ОН / √3 = 6 * 12 * √3 / √3 = 72 см.

Определим площадь треугольника в основании пирамиды.

Sосн = ВС² * √3 / 4 = 1296 * √3 см².

Определим объем пирамиды.

V = Sосн * ОД / 3 = 1296 * √3 * 2 / 3 = 864 * √3 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 864 * √3 см³.