Из точки взятой вне окружности проведены к ней две касательной. Докозать что длины касательных равны между собой.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2x7k1w5).

Проведем из точки А две касательные АВ и АС к окружности с центров в точке О.

Из центра окружности проведем к точкам касания радиусы ОВ и ОС, и соединим точку О и точку А.

Радиусы, проведенные из центра окружности к точке касания, образуют прямой угол между касательной и радиусом. Тогда треугольники АОВ и АОС прямоугольные, у которых катет ОВ = ОС, как радиусы окружности, а гипотенуза АО общая.

Тогда треугольники АОВ и АОС равны по второму признаку подобия прямоугольных треугольников, по катету и гипотенузе. Тогда и катет АВ = АС, что и требовалось доказать.