В ромбе ABCD диагональ AC пересекает высоту DM, проведенную к стороне BC, в точке P. Найдите длины отрезков MP и DP,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2EfHGzv).

Так как ДМ высота ромба, то треугольник СДМ прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора определим длину катета СМ.

СМ² = СД² – ДМ² = 15² – 12² = 225 – 144 = 81.

СМ = 9 см.

Диагональ ромба делит угол при его вершинах пополам, тогда отрезок СР есть биссектриса угла С треугольника СДМ.

Пусть отрезок МР = Х см, тогда отрезок ДР = (12 – Р).

По свойству биссектрисы треугольника СМ / МР = СД / ДР.

9 / Х = 15 / (12 – Х).

15 * Х = 108 – 9 * Х.

24 * Х = 108.

Х = МР = 108 / 24 = 4,5 см.

Тогда ДР = 12 – 4,5 = 7,5 см.

Ответ: Длина отрезка МР равна 4,5 см, длина отрезка ДР равна 7,5 см.