В прямой призме ABCA1B1C1, AB=12,BC=21,AC=20. Диагональ боковой грани A1C составляет с плоскостью грани CC1BB1 угол 30°.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2GAq4PR).

По теореме Герона определим площадь основания призмы.

Полупериметр треугольника в основании равен: р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (13 + 20 + 21) / 2 = 27 см.

Sосн = √27 * (27 – 21) * (27 – 20) * (27 – 13) = √27 * 6 * 7 * 14 = √15876 = 126 см².

С другой стороны площадь треугольника в основании равна: S = ВС * АН / 2.

АН = 2 * Sосн / ВС = 126 * 2 / 21 = 12 см.

Проведем высоту А1Н1 = АН = 12 см.

Угол А1СВ1 = 30⁰ по условию. Тогда кате А1Н1 лежит против него, а тогда гипотенуза А1С = 2 * 12 = 24 см.

В прямоугольном треугольнике САА1, по теореме Пифагора, АА1² = А1С² - А1С² = 576 - 400 = 176.

АА1 = √176 = 4 * √11 см.

Периметр основания равен: Равс = (20 + 21 + 13) = 54 см.

Тогда Sбок = Равс * АА1 = 54 * 4 * √11 = 216 * √11 см².

Sпов = 2 * Sосн + Sбок = 2 * 126 + 216 * √11 = 256 + 216 * √11 см².

Ответ: Площадь призмы равна 256 + 216 * √11 см².