В равнобедренной трапеции,в которую можно вписать окружность.Периметр равен 80,а площадь 320.Найдите,чему равно расстояние

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2COFEDi).

Так как трапеция равнобедренна, и в нее можно вписать окружность, то сумма длин ее оснований, равна сумме длин его сторон. (АВ + СД) = (ВС + АД) = Р / 2 = 80 / 2 = 40 см.

АВ = СД = 40 / 2 = 20 см.

Площадь такой трапеции равна: Sавсд = R * (ВС + АД) = R * 40 = 320.

R = 320 / 40 = 8 см, тогда КН = 2 * R = 16 см.

В прямоугольном треугольнике АВР, АР² = АВ² – ВР² = 400 – 265 = 144. АК = 12 см.

Так как трапеция равнобокая, то ДМ = АР = 12 см.

ВС = РМ, так как ВСМР прямоугольник. Тогда (ВС + АР + РМ + ДМ) = 40 см.

(АР + РМ) = 40 – 12 – 12 = 16 см.

АР = РМ = 16 / 2 = 8 см.

АД = АР + РМ + ДМ = 12 + 8 + 12 = 32 см.

Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам с коэффициентом подобия К = 32 / 8 = 4.

Тогда и ОН / ОК = 4 / 1.

ОН = 4 * ОК.

ОН + ОК = 16 см.

4 * ОК + ОК = 16 см.

ОК = 16 / 5 = 3,2 см.

Ответ: Расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания равно 3,2 см.