Средняя линия трапеции делит её на две трапеции меньшего размера. Докажите, что модуль разности между площадями этих

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QtpBAr).

Обозначим меньшее основание ВС через Х, большее основание АД через У, а высоту ВТ через h.

Тогда средняя линия КР трапеции АВСД будет равна: КР = (Х + У) / 2.

Средняя линия КР делит высоту ВТ пополам.

Определим площадь трапеции КВСР.

S1 = (ВС + КР) * ВО / 2 = ((Х + (Х + У) / 2) / 2) * h / 2 = ((3 * Х + У) * h) / 8.

Определим площадь трапеции АКРД.

S2 = (АД + КР) * ТО / 2 = ((У + (Х + У) / 2) / 2) * h / 2 = ((3 * У + Х) * h) / 8.

Определим разность S2 – S1.

((3 * У + Х) * h) / 8 - ((3 * Х + У) * h) / 8 = (h / 8) * (3 * У +Х  - 3 * Х – У) = (h / 8) * (2 * У – 2 * Х) =

(У – Х) * h / 4.

Что и требовалось доказать.