Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все ребра которой равны 8. К — середина А1С1. На ребре С1В1 взята точка Е так, что С1Е : ЕВ1 = 1 : 3. Точка Т — проекция точки Е на плоскость АВС. Докажите, что КТ перпендикулярна СВ

а)Треугольник АТС1–сечение призмы указанной плоскостью

С1Т– медиана и высота треугольника А1В1С1(так как треугольник А1В1С1 равносторонний).

Из треугольника А1С1Т по теореме Пифагора: С1Т=√A1C1²–A1T²=√16–4=√12=2√3.

Из треугольника АA1Т по теореме Пифагора: AТ=√AA1²+A1T²=√16+4=√20=2√5.

Из треугольника AА1С1 по теореме Пифагора: AС1=√AA1²+A1C1²=√16+16=√2·16=4√2.

Из треугольника АТС1 по теореме обратной теореме Пифагора:

(AT)²+(TC1)²=(AC1)²

(2√5)²+(2√3)²=(4√2)²

20+12=32

32=32

Значит, треугольник АТС1 прямоугольный

б)Рассмотрим пирамиду А1АТС1:

С1А1⊥АА1, С1А1⊥А1В1, значит С1А1⊥(АА1Т)

С1А1–высота пирамиды

V(А1АТС1)=1/3·S(AA1T)·A1C1=1/3·1/2·2·4·4=16/3