В цилиндр вписана прямая призма, в основании которой - треугольник со сторонами 15 см, 13 см, 4 см. В осевом сечении цилиндра - квадрат.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QvcWkq).

Из треугольника АВС, лежащего в основании призмы, по теореме косинусов определим длину стороны АС.

АС² = АВ² + ВС² – 2 * АВ * ВС * Cos120 = 36 + 36 – 2 * 6 * 6 * (-1 / 2) = 72 + 36 = 108.

АС = 6 * √3 см.

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = (АВ * ВС * Sin120) / 2 = (6 * 6 * √3 / 2) / 2 = 9 * √3 см².

Определим радиус описанной окружности около треугольника АВС.

R = ОА = (АВ * ВС * АС) / 4 * Sавс = (6 * 6 * 6 * √3) / (4 * 9 * √3) = 6 см.

Определим площадь окружности в основании цилиндра.

Sосн = п * ОА² = 36 * п см².

Так как, по условию, диагональное сечение цилиндра есть квадрат, то высота цилиндра равна диаметру окружности.

АА1 = 2 * ОА = 12 см.

Определим объем цилиндра.

V = Sосн * АА1 = 36 * п * 12 = 432 * п см³.

Ответ: Объем цилиндра равен 432 * п см³.