Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?

В первом случае ответ очевиден: C

3

n

C

n

3

, так как из n

n

 вершин мы выбираем какие-то три.

Во втором случае надо вычесть число вариантов, где одна из сторон n

n

-угольника является стороной треугольника. Сразу положим n≥4

n

≥

4

, так как при n=3

n

=

3

 итоговый ответ очевиден.

Рассмотрим два варианта. В первом из них треугольник имеет две общие стороны с многоугольником. Это значит, что мы выделяем три вершины n

n

-угольника, идущие подряд. Среднюю из них можно выбрать n

n

 способами, остальное однозначно восстанавливается. Таких способов n

n

.

Во втором варианте мы сначала n

n

 способами выбираем общую сторону. Далее указываем третью вершину. Она не совпадает ни с одним из концов выбранного отрезка, а также не соседствует с этими концами. Таких вершин n−4

n

−

4

, что даёт n(n−4)

n

(

n

−

4

)

 треугольника.