Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна 8. Ребро SC перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость SBC составляет с плоскостью АВС угол в 45°. Найдите площадь боковой поверхности

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2qRpzuw).

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник с длиной стороны равной b см.

Определим площадь основания конуса.

Sосн = b² * √3 / 4 см².

Определим высоту АН равнобедренного треугольника АВС

АН = b * √3 / 2 см.

Треугольник АДН прямоугольный, так как, по условию, АД перпендикулярно АВС, а угол ДНА = 30⁰.

Тогда АД = АН * tg30 = b * √3 / 2 * (√3 / 3) = b / 2 см.

Определим пощади боковых граней АДС и АДВ.

Sадс = Sадв = АД * АС / 2 = (b / 2) * b / 2 = b² / 4 см².

Определим высоту ДН треугольника ВДС. ДН = АН / Cos30 = (b * √3 / 2) / √3 / 2 = b см.

Тогда Sдвс = ВС * ДН / 2 = b * b / 2 = b² / 2 см².

Sбок = 2 * Sадс + Sдвс = b² / 2 + b²  / 2 = b² см².

Sпов = b² + b² * √3 / 4 = b² * (1 + √3 / 4) см².

Ответ: Sбок = b² см², Sпов = b² * (1 + √3 / 4) см².