Кінці відрізка АВ належать двом перпендикулярним площинам α і β. Проекція відрізка АВ на площину α дорівнює 5 см, а його проекція на площину β дорівнює см. Відстань між основами перпендикулярів, опущених з кінців відрізка АВ на лінію перетину площин, дорівнює 4 см. Знайдіть довжину відрізка АВ.

Ответ:

Дані вказують на те, що відрізок АВ розташований у просторі і є діагоналлю паралелепіпеда, що має дві перпендикулярні площини α і β. Для того, щоб знайти довжину відрізка АВ, можна використати теорему Піфагора.

Записуємо рівняння теореми Піфагора для відрізка АВ:

AB^2 = h^2 + 5^2

Де h - висота, що опущена з кінця відрізка АВ на площину α.

Також записуємо рівняння теореми Піфагора для відрізка, що сполучає кінця відрізка АВ:

(AB+h)^2 = 4^2 + AB^2

Виразуючи AB від h у другому рівнянні, отримуємо:

AB^2 + 2hAB + h^2 = 16

Замінюючи AB^2 у цьому рівнянні рівнянням, отриманим у першому рівнянні, отримуємо:

h^2 + 5^2 + 2hAB + h^2 = 16

2hAB = 16 - h^2 - 5^2

2hAB = 16 - h^2 - 25

Розв'язуємо це рівняння:

h^2 - 2h + 1 = 0