Известно, что векторы а, b и с компланарны

и с = За - 2b. Докажите, что векторы i = 5a, m = -7b

и n = 4с также компланарны. Разложите вектор m по векторам i и n.

Может кто знает откуда задание? или решите пожалуйста.

Линейно зависимы ли векторы в R4?

a1 = (4,−5,2,6),a2 = (2,−2,1,3),a3 = (6,−3,3,9),a4 = (4,−1,5,6).

Решение. Составим линейную комбинацию векторов a1, a2, a3, a4: α1a1 + α2a2 + α3a3 + α4a4.

Чтобы выяснить, являются ли векторы a1, a2, a3, a4 линейно зависимыми или нет, до- статочно определить, сколько решений имеет уравнение

α1a1 +α2a2 +α3a3 +α4a4 = 0,

где в качестве неизвестных выступают коэффициенты α1, α2, α3, α4. Если это уравнение имеет единственное решение (нулевое решение есть всегда), то векторы линейно независи- мы. Если у уравнения есть ненулевое решение, то векторы линейно зависимы. Подставим числовые значения векторов a1, a2, a3, a4, получим:

α1(4, −5, 2, 6) + α2(2, −2, 1, 3) + α3(6, −3, 3, 9) + α4(4, −1, 5, 6) = (0, 0, 0, 0). Умножим каждый из векторов на свой коэффициент и сложим все векторы в левой

части равенства, получим:

(4α1 +2α2 +6α3 +4α4,−5α1 −2α2 −3α3 −α4, 2α1 +α2 +3α3 +5α4,

6α1 +3α2 +9α3 +6α4)=(0,0,0,0).

Два вектора равны, если равны их соответствующие компоненты. Следовательно по- лученное равенство векторов равносильно системе:

4α1 +2α2 +6α3 +4α4 =0 −5α1 −2α2 −3α3 −α4 =0 2α1 +α2 +3α3 +5α4 = 0 6α1 +3α2 +9α3 +6α4 =0