СРОЧНО. Помогите по геометрии пожалуйста! В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а угол между основанием и боковыми гранями равен 60°. Найдите объем пирамиды. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Відповідь:

12

Пояснення:

Не нарушая общности, можем считать, что указанное сечение проведено через вершину В основания АВС пирамиды SABC. Пусть К - точка пересечения заданного сечения с апофемой SP грани ASC (см. рисунок).

В правильной треугольной пирамиде сторона

 Из условия следует, что ВК перпендикулярен SP, tg KBP = 2√3/3. Пусть SO - высота пирамиды SABC, проведенная из вершины S к основанию АВС. Тогда объем пирамиды VSABC = 1/3 · SABC · SO. Так как пирамида SABC - правильная, то ВР - высота Δ АВС и ВР = ВА · sin 60° = 6. Тогда SABC = 1/2 · BP · AC = 12√3. Так как ВР - медиана Δ АВС, то ОР = 1/3 · ВР = 2. Треугольники ВКР и SOP - подобны (по двум углам). Значит, углы OSP и КВР - равны. Поэтому tg OSP = OP/SO = 2√3/3. Отсюда SO = √3, и, следовательно, VSABC = 1/3 · 12√3 · √3 = 12.

 Ответ: 12.