Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 медиане этого треугольника? Почему это работает?

Да, это правда. Радиус треугольника (радиус окружности, вписанной в треугольник) связан с медианами треугольника по формуле: радиус = (2/3) * медианная длина. Эта формула работает, потому что медианы треугольника делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади. Радиус треугольника равен радиусу вписанной окружности, которая является касательной ко всем трем сторонам треугольника. Длина медианы треугольника пропорциональна площади треугольника, поэтому формула дает нам простой способ вычислить радиус на основе длины медианы.

Медианы делятся точкой пересечения 2:1, а в правильном треугольнике все точки пересечения (в частности, медиан и биссектрис) сливаются в одну.