В ромбе ABCD с плошадью 64см², BK:KC=1:3. Найдите площадь треугольника AKC (рисунок 2).​

Объяснение:

Для решения задачи можно воспользоваться следующими свойствами ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре равных треугольника.

2. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Пусть диагонали ромба ABCD имеют длины d1 и d2. Тогда площадь ромба равна (1/2)*d1*d2, т.е. (1/2)*d1*d2 = 64.

Так как треугольники ABK и CBK имеют равные площади и отношение BK:KC=1:3, то точка K находится на расстоянии 1/4 от диагонали AC, ближе к точке A. То есть, AK/KC=1/3 и AK=AC/4.

Из прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC следует, что AB^2 + BC^2 = AC^2. Так как AB=BC (так как ромб), то AB^2 + AB^2 = AC^2 и AB = BC = AC/√2.

Теперь можем выразить d1 и d2 через AC:

d1 = AC, d2 = AC/√2.

Подставляя d1 и d2 в уравнение (1/2)*d1*d2 = 64 и заменяя AC на 4*AK, получаем:

(1/2)*(4*AK)*(4*AK/√2) = 64

AK^2 = 8

Таким образом, площадь треугольника AKC равна (1/2)*AK*AC/2 = AK^2/2 = 4.