СРОЧНО! ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!!! Диаметр [CD] окружности перпендикулярен хорде [АВ]. [АВ] и [СD] пересекаются в точке М. |СМ|=2. Сумма [АВ] и [СМ] равна диаметру окружности. 1. Найти радиус окружности и площадь ACBD. 2. Доказать, что в ACBD можно вписать круг. Найти радиус этого круга.

Відповідь:

1. Оскільки діаметр [CD] перпендикулярний до хорди [AB], то точка перетину [М] буде серединою [AB]. Тобто AM = MB = (1/2)AB. Оскільки [SM] = 2, то [AM] + [SM] = (1/2)[AB] + 2 = діаметр окружності. Звідси маємо AB = 4R/3, де R - радіус окружності.

Також можна застосувати теорему Піфагора до прямокутного трикутника [ACD]:

(AC)^2 + (CD)^2 = (AD)^2

(AB + BD)^2 + R^2 = (2R)^2

(4R/3 + BD)^2 + R^2 = 4R^2

16R^2/9 + 8RBD/3 + (BD)^2 + R^2 = 16R^2

(BD)^2 + 8RBD/3 = 0

BD*(BD + 8R/3) = 0

Отже, BD може бути або 0, що означає, що точки [B] і [D] збігаються і отримуємо просту окружність [AC], або BD = -8R/3, що неможливо з урахуванням фізичного змісту. Отже, єдиний правильний варіант - коло [ACBD], для якого BD = 0, тобто точки [B] і [D] збігаються в точці [C].

З отриманими довжинами сторін [AB] та [CD] можна визначити діаметр окружності: D = [AB] + [CD] = 4R/3 + 2R/3 = 2R, тобто R = D/2.

Пояснення: