В окружность радиусом 4см вписан правильный шестиугольник с площадью 36см найдите апофему этого шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через его сторону $a$ и апофему $h$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 36 \Rightarrow a = \sqrt{\frac{24}{\sqrt{3}}} \approx 4.38 \text{ см}$

Вписанный правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$ и высотой $h$. При этом высота $h$ является радиусом описанной окружности, то есть равна 4 см.

Из рисунка видно, что сторона $a$ равна диаметру описанной окружности, а значит апофема $h$ равна радиусу описанной окружности, умноженному на $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ см}$

Итак, апофема правильного шестиугольника равна $2\sqrt{3}$ см.