Прямоугольник с диагональю, равной 2 3 см, вращается вокруг одной из сторон.

Так как диагональ прямоугольника равна 2 3 см, то можно записать уравнение: $$(a^2 + b^2)^\frac{1}{2} = 2\sqrt{2}$$ где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Для нахождения максимального объема тела вращения необходимо найти сторону прямоугольника, вокруг которой нужно вращать фигуру. Для этого можно воспользоваться методом дифференцирования и найти максимум объема по формуле: $$V = S \cdot h = ab \cdot h = ab \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2b}{2}$$ где $S$ - площадь основания, $h$ - высота цилиндра. Берем производную по $a$: $$\frac{dV}{da} = ab = b\sqrt{4a^2-8a^2} = 0$$ Решаем уравнение: $$a^2 = 2b^2$$ Подставляем $a^2 = 2b^2$ в первое уравнение: $$b^2 = \frac{8}{5}$$ $$a^2 = \frac{16}{5}$$ Таким образом, стороны прямоугольника равны $a = \sqrt{\frac{16}{5}}$ см и $b = \sqrt{\frac{8}{5}}$ см. Высота цилиндра равна $h = \sqrt{\frac{16}{5}}$ см. Тогда объем тела вращения будет равен: $$V = \frac{a^2b}{2}h = \frac{\frac{16}{5} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{128}{125} \pi \approx 1,02 \text{ см}^3$$ Таким образом, максимальный объем тела вращения будет равен примерно 1,02 кубических сантиметров