4. [4 балла) в равнобедренном треуголь боковая сторона разна 13 см. основание равно 10 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник и радиус описанной около этого треугольника окружности.​

Ответ:

Радиус окружности вписанной в треугольник r=3\dfrac{1}{3} см, а радиус окружности, описанной около треугольника R=7\dfrac{1}{24} см

Объяснение:

Пусть дан ΔАВС - равнобедренный.

АВ=ВС= 13 см, АС =10 см .

Проведем высоту ВН к основанию, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой. Тогда АН=НС= 10:2=5 см.

Рассмотрим Δ АНВ - прямоугольный. Применим теорему Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

AB^{2} =AH^{2} +BH^{2} ;\\BH^{2}=AB^{2} -AH^{2};\\BH= \sqrt{AB^{2} -AH^{2}};\\BH= \sqrt{13^{2} -5^{2} } =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12

Значит, высота BH =12 см.

Найдем площадь ΔАВС

S= \dfrac{1}{2} \cdot AC\cdot BH ;\\S=\dfrac{1}{2} \cdot 10\cdot 12=6\cdot10=60

S= 60 см².

Радиус окружности, вписанной в треугольник найдем по формуле :

r= \dfrac{2S}{P} , где S- площадь треугольника , P- периметр треугольника.

r= \dfrac{2\cdot60 }{13+13+10} =\dfrac{2\cdot60}{36} =\dfrac{2\cdot12\cdot5}{3\cdot12 } =\dfrac{2\cdot5}{3} =\dfrac{10}{3} =3\dfrac{1}{3}

Тогда радиус окружности. вписанной в треугольник r=3\dfrac{1}{3} см.

Радиус окружности, описанной около треугольника найдем по формуле :

R= \dfrac{abc}{4S } ;\\\\R= \dfrac{13\cdot13\cdot10 }{4\cdot 60 } =\dfrac{169}{24} =7\dfrac{1}{24}

Значит, а радиус окружности, описанной около треугольника будет R=7\dfrac{1}{24} см