Доведіть, що точка, яка лежить у внутрішній областi кута i рівновіддалена від його сторін, належить бісектрисі цього кута

Розглянемо кут із вершинами у точках A, B та C і внутрішню точку P, яка знаходиться на відстані d від сторін AB та AC.

За визначенням бісектриси кута, бісектриса кута ACB розділяє його на дві рівні частини, тобто куті ACP та BCP мають однакову міру.

Таким чином, ми повинні довести, що точка P належить до бісектриси кута ACB, тобто що вона знаходиться на прямій, яка ділить кут ACB на дві рівні частини.

Розглянемо трикутник ACP. За умовою, точка P знаходиться на відстані d від сторони AC. Також, оскільки точка P лежить у внутрішній області кута ACB, то точка P знаходиться на відстані меншій за d від сторони AB.

Розглянемо трикутник BCP. За умовою, точка P знаходиться на відстані d від сторони AB. Також, оскільки точка P лежить у внутрішній області кута ACB, то точка P знаходиться на відстані меншій за d від сторони AC.

Отже, точка P знаходиться на відрізку, який перетинає сторони AB та AC та проходить у внутрішній області кута ACB на відстані d від кожної з цих сторін. Цей відрізок є перпендикуляром, який проходить через точку P та перетинає бісектрису кута ACB в точці O.

Таким чином, точка P належить до бісектриси кута ACB, оскільки вона знаходиться на перпендикулярі, який проходить через точку P та перетинає бісектрису кута ACB в точці O. Отже, твердження доведено.