из точки к прямой проведены две наклонные длины которых равны 11 и 15 см а её проекция первой наклонной на прямую равна 8 см. найдите длину проекции на прямую

(подробно с обьяснениями + рисунок)

Для решения данной задачи можно использовать теорему Пифагора и подобие треугольников.

Пусть точка, из которой проведены наклонные, называется A, а точка на прямой, к которой проведены наклонные, называется B. Тогда обозначим длины проекций AB и AC соответственно как x и y.

Рассмотрим треугольник ABD, где BD - высота, опущенная на прямую AB из точки D, где D - точка пересечения второй наклонной с прямой AB.

Треугольник ABD является прямоугольным, так как BD - высота, а угол BDA прямой. Тогда по теореме Пифагора:

AD^2 = AB^2 - BD^2

В нашем случае AB = 15 см, а BD = x, поскольку BD является проекцией первой наклонной на прямую AB. Таким образом:

AD^2 = 15^2 - x^2

Рассмотрим также треугольник ADC, где DC - высота, опущенная на прямую AB из точки C, где C - точка пересечения первой наклонной с прямой AB.

Треугольник ADC также является прямоугольным, так как DC - высота, а угол ACD прямой. Тогда по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 - BC^2

В нашем случае AB = 15 см, а BC = y, поскольку BC является проекцией второй наклонной на прямую AB. Таким образом:

AC^2 = 15^2 - y^2

Заметим также, что треугольники ABD и ADC подобны, так как у них прямые углы BDA и ACD равны, а углы BAD и CAD являются соответственными, так как наклонные проведены из одной точки.

Поэтому:

AD/AC = AB/AD

AD^2 = AB*AC

15^2 - x^2 = 11*y

или

225 - x^2 = 11*y

AC^2/AB^2 = AC/AD

AC^2 = AB*AD

15^2 - y^2 = 11*x

или

225 - y^2 = 11*x

Теперь у нас есть система уравнений:

225 - x^2 = 11*y

225 - y^2 = 11*x

Решив ее методом подстановки, мы получаем:

x = 8, y = 12

Таким образом, длина проекции на прямую равна 12 см.