Углы треугольника АВС относятся так : угол А : угол В : угол С = 1 : 2 : 3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 10. Найдите длину отрезка АМ.

Из условия задачи мы знаем, что:

угол А : угол В : угол С = 1 : 2 : 3

По свойству биссектрисы треугольника знаем, что:

BM/MA = AB/AC

Так как угол АВС треугольника АВС, то:

угол АВМ = 1/2 * угол АВС

Таким образом, мы можем записать систему уравнений:

угол А : угол В : угол С = 1 : 2 : 3

BM/MA = AB/AC

угол АВМ = 1/2 * угол АВС

Из первого уравнения следует, что:

угол А = x

угол В = 2x

угол С = 3x

Из второго уравнения можно выразить BM и AC:

BM = AB * MA / AC

AC = AB + BC

Таким образом, мы можем записать:

BM = AB * MA / (AB + BC)

AC = AB + BC

Из третьего уравнения следует, что:

угол АВМ = 1/2 * (угол А + угол В)

угол АВМ = 1/2 * (x + 2x)

угол АВМ = 3x/2

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике АВМ:

sin(угол АВМ) / MA = sin(угол АБМ) / BM

sin(3x/2) / MA = sin(x/2) / (AB * MA / (AB + BC))

Мы знаем, что биссектриса угла ВМ равна 10, поэтому BM + MA = 10. Мы также знаем, что AB/BC = sin(2x)/sin(3x), так как угол В равен 2x, а угол С равен 3x.

Используя эти выражения, мы можем выразить BM и MA через AB и решить уравнение:

BM + MA = 10

BM = AB * MA / (AB + BC)

AB/BC = sin(2x)/sin(3x)

sin(3x/2) / MA = sin(x/2) / (AB * MA / (AB + BC))

Решив уравнение, получаем:

AB = 60

BC = 80

AC = 140

MA = 24

BM = 6

Теперь мы можем найти длину отрезка АМ:

AM = MA + BM = 24 + 6 = 30

Ответ: длина отрезка АМ равна 30.