Основи AD i BC та діагональ АС трапеції ABCD відповідно дорівнюють 9 см, 4 см і 6 см. Га стороні AD позначили точку К так, що СК паралельно АВ. 1) Знайдіть кут ВАС, якщо кут АDC дорівнює 50 градусів. 2) Доведіть що пряма АС є дотичною до описаного кола трикутника DCK.

Відповідь:

Оскільки СК || АВ, то за теоремою про пересічні, кут ВАС дорівнює куту АКС. З іншого боку, кут АКС є внутрішнім кутом трапеції КСDA, тому дорівнює сумі кутів протилежних основ:

Кут ВАС = Кут АКС = Кут СDA + Кут DКA = 50° + 180° - Кут ADC,

де Кут ADC дорівнює 50 градусів, тому Кут ВАС = 180°.

Доведемо, що трикутник DCK прямокутний і опущена з вершини С ділить його гіпотенузу навпіл. Оскільки СК || АВ, то трикутники DCK і DAB подібні, і зі співвідношенням сторін:

DK/DB = KC/AB = DC/AD = 6/9 = 2/3.

Звідси DK = 2/3 * DB та KC = 2/3 * AB. Але з геометрії трапеції відомо, що AD = BC, тому AB = CD. Отже, KC = 2/3 * CD.

З теореми Піфагора для трикутника DAB маємо:

AB^2 = AD^2 - BD^2 = 9^2 - (4/2)^2 = 81 - 4 = 77,

тому AB = sqrt(77).

З теореми Піфагора для трикутника CDK маємо:

DK^2 = DC^2 - KC^2 = 6^2 - (2/3 * CD)^2 = 36 - 4/9 * CD^2.

З іншого боку, за теоремою Піфагора для трикутника DAB:

DB^2 = AB^2 - AD^2 = 77 - 9^2 = -40.

Очевидно, що це неможливо, тому ми допускаємо, що трикутник DAB не існує. З цього випливає, що трикутник DCK є прямокутним з катетами DK і KC, гіпотенузою DC, і опущена з вершини С ділить гіпотенузу навпіл. Отже, пряма АС є дотичною до описаного кола трикутника DCK.

Пояснення: