Пряма дотикається до кола з центорм О в точці А. На дотичній по різні боки від точки А позначили точки В і С так, що BO = CO Знайдіть відрізок ВС, якщо BA = 6CM

Позначимо точку дотику дотичної до кола з центром О в точці А як D. Оскільки точка D лежить на дотичній до кола, то вектор AD є перпендикулярним до вектора OB (або OC), оскільки OB = OC, то вектор AD є середньою лінією трикутника BOC. Тобто:

AD = 1/2 (BO + CO) = BO = CO

Оскільки BA = 6CM, то з подібності трикутників ABD та AOC маємо:

AD/AC = AB/AO

Отже, AD = AB/AO * AC

Але ми знаємо, що AD = BO = CO, тому:

BO = CO = AB/AO * AC

Але BO = CO, тому:

AB/AO * AC = BO = CO

AC = AO * CO/AB = AO * BO/AB (так як BO = CO)

З теореми Піфагора для трикутника ABO маємо:

AB^2 + BO^2 = AO^2

Так як BO = CO, то можемо записати:

2BO^2 = AO^2 - AB^2

BO^2 = (AO^2 - AB^2)/2

AB^2 = AD^2 + BD^2 (теорема Піфагора для трикутника ABD)

Отже, маємо:

AC = AO * BO/sqrt(AD^2 + BD^2)

Тепер застосуємо теорему Піфагора для трикутника ABD:

AD^2 + BD^2 = AB^2 = 36CM^2

Отже:

AC = AO * BO/sqrt(36CM^2 - AD^2)

Залишилося знайти AD. Знову використаємо теорему Піфагора для трикутника ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2

AD^2 = AB^2 - BD^2 = 36CM^2 - (BO + CO)^2/4 = 36CM^2 - BO^2

За теоремою Піфагора для трикутника ABO:

BO^2 = AO^2 - AB^2 = AO^2 - 36CM^2

Отже:

AD^2 = 36CM^2 - (AO^2 - 36CM^2) = 72CM^2 - AO^2

Отже:

AC = AO * BO/sqrt(36CM^2 - (72CM^2 - AO^2))

AC = AO * BO/sqrt(AO^2 - 36CM^2)

Таким чином, відрізок ВС має довжину:

BC = 2AC = 2AO * BO/sqrt(AO^2 - 36CM^2)