СРОЧНО 100 БАЛЛОВ5.Вычисли sin3x/sinx+ cos3x/cosx,если x= π/6.6.Докажи тождество: cos²(π+a)+sin²(π/2+a)-cos(π-a)cos(2π-a)/tg2(π/2-a)ctg²(a-3π/2)=3cos²a​

Объяснение:

1. Для x = π/6, мы можем вычислить значения sin(x) и cos(x):

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √3/2

Теперь мы можем подставить эти значения в выражение:

sin(3x)/(sin(x) + cos(3x)/cos(x))

= sin(3(π/6))/(sin(π/6) + cos(3(π/6))/cos(π/6))

= sin(π/2)/(1/2 + cos(π/2)/(√3/2))

= 1/(1/2 + 0)

= 2

Таким образом, sin3x/sinx+ cos3x/cosx при x=π/6 равно 2.

2. Начнем с левой стороны уравнения:

cos²(π+a) + sin²(π/2+a) - cos(π-a)cos(2π-a)/tg²(π/2-a)ctg²(a-3π/2)

Так как cos(π+a) = -cos(a) и sin(π/2+a) = cos(a), заменим соответствующие значения в уравнении:

(-cos(a))² + cos²(a) - cos(π-a)cos(2π-a)/tg²(π/2-a)ctg²(a-3π/2)

Далее, заметим, что cos(π-a) = -cos(a) и cos(2π-a) = cos(a), поэтому упростим уравнение еще больше:

cos²(a) + cos(a)²/tg²(π/2-a)ctg²(a-3π/2)

Преобразуем знаменатель выражения tg²(π/2-a)ctg²(a-3π/2):

tg²(π/2-a)ctg²(a-3π/2) = (cos(π/2-a)/sin(π/2-a))² * (cos(a-3π/2)/sin(a-3π/2))²

= (sin(a)/cos(a))² * (cos(a)/(-sin(a)))²

= 1

Используя это, мы можем продолжить упрощение:

cos²(a) + cos(a)²/1 = cos²(a) + cos²(a) = 2cos²(a)

Таким образом, левая сторона уравнения равна 2cos²(a).

С другой стороны, 3cos²(a) = 3cos²(a), что подтверждает данное тождество. Таким образом, мы доказали данное утверждение.