3. Дано прямокутник ABCD зі сторонами AB = 6 см, ВС = 8 см, AM - перпендикуляр до площини прямокутника. Пряма MC нахилена до площини прямокутника під кутом 60°. Знайдіть тангенс кута, який утворює площина MDC із площиною прямокутника. 4. Трикутник А1 B1 C1 є ортогональною проєкцією трикутника АВС зі сторонами 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть кут між площинами трикутників, якщо трикутник А1 В1 С1 прямокутний з катетами 6 см і 4√2 см. Допоможіть будь ласка

Даний прямокутник ABCD зі сторонами AB = 6 см, ВС = 8 см, AM - перпендикуляр до площини прямокутника. Пряма MC нахилена до площини прямокутника під кутом 60°. Знайдемо тангенс кута, який утворює площина MDC із площиною прямокутника.

$AB=6$, $BC=8$, $BM=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$ (за теоремою Піфагора), $MC=BM\cdot \tan 60^\circ=10\cdot \sqrt{3}$.

За теоремою Піфагора знаходимо $MD=\sqrt{BC^2-MC^2}=2$.

За теоремою синусів знаходимо $\sin\angle MDC=\frac{MD}{MC}=\frac{1}{5\sqrt{3}}$.

За теоремою косинусів знаходимо $\cos\angle MDC=\frac{DC^2+MC^2-MD^2}{2\cdot DC\cdot MC}=\frac{7\sqrt{3}}{25}$.

Тоді тангенс шуканого кута $tg\angle MDC=\frac{\sin\angle MDC}{\cos\angle MDC}=\frac{1}{7} \cdot \frac{25}{\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{21}$.

Отже, тангенс кута, який утворює площина MDC із площиною прямокутника, дорівнює $\frac{25\sqrt{3}}{21}$.

# Задача 4

Даний трикутник $A_1B_1C_1$ є ортогональною проєкцією трикутника $ABC$ зі сторонами $AB=4$ см, $BC=13$ см і $AC=15$ см. Знайдемо кут між площинами трикутників, якщо трикутник $A_1B_1C_1$ прямокутний з катетами $A_1B_1=6$ см і $B_1C_1=4\sqrt{2}$ см.

За теоремою Піфагора знаходимо $A_1C_1=\sqrt{A_1B_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Тоді висота трикутника $A_1B_1C_1$ на гіпотенузу дорівнює $A_1H=\frac{A_1B_1\cdot B_1C_1}{A_1C_1}=\frac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}$.

За теоремою Піфагора знаходимо $AH=\sqrt{AB^2-A_1H^2}=\sqrt{4^2-(12\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$, $CH=\sqrt{BC^2-A_1H^2}=\sqrt{13^2-(12\sqrt{2})^2}=5\sqrt{7}$.

За властивостями векторного добутку знаходимо площу трикутника $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 15\cdot \frac{12}{13}=\frac{72}{13}$.

За властивостями векторного добутку знаходимо площу трикутника $A_1B_1C_1$: $S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot A_1B_1\cdot B_1C_1=\frac{24}{\sqrt{2}}$.

За властивостями векторного добутку знаходимо площу трикутника $A_1HC$: $S_{A_1HC}=\frac{1}{2}\cdot A_1H\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot (12\sqrt{2})\cdot (5\sqrt{7})=30\sqrt{14}$.

Тоді площа трикутника $HBC$ дорівнює $S_{HBC}=S_{ABC}-S_{A_1B_1C_1}-S_{A_1HC}=\frac{72}{13}-\frac{24}{\sqrt{2}}-30\sqrt{14}.$

За теоремою Піфагора знаходимо $HB^2=CH^2+A_1H^2=\left(5\sqrt{7}\right)^2+\left(12\sqrt{2}\right)^2=388$.

Тоді косинус шуканого кута $\cos \angle BHC=\frac{CH^2+HB^2-BC^2}{2\cdot CH\cdot HB}=\frac{1}{2\cdot CH\cdot HB}\cdot 388=\frac{4}{65}$.

Отже, кут між площинами трикутників дорівнює $\arccos \frac{4}{65}$ радіан або $\angle BHC\approx 88.2^\circ$ градусів.