Разложить вектор на сумму двух векторов

Для разложения вектора х на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы а1 и а2, а другой ортогонален этому подпространству, мы можем использовать проекционную формулу: х = proj_пространство (х) + proj_ортогональное (х) где proj_пространство (х) - это проекция вектора х на подпространство, натянутое на векторы а1 и а2, а proj_ортогональное (х) - это проекция вектора х на пространство, ортогональное этому подпространству. Для нахождения proj_пространство (х) мы можем использовать формулу: proj_пространство (х) = ((х * а1) / ||а1||^2) * а1 + ((х * а2) / ||а2||^2) * а2, где ||а1|| и ||а2|| - это длины векторов а1 и а2 соответственно, а * обозначает скалярное произведение векторов. Подставляя значения в формулу, получим: ||а1|| = sqrt(1^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(5) ||а2|| = sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(2) proj_пространство (х) = ((-11 + 30 - 52) / 5) * (1, 0, 2) + ((-10 + 31 - 51) / 2) * (0, 1, 1) = (-9/5, 3/5, -7/5) Для нахождения proj_ортогональное (х) мы можем вычислить вектор, который ортогонален подпространству, и вычесть его из вектора х: n = а1 x а2, где x обозначает векторное произведение векторов. Подставляя значения в формулу, получим: n = (0, 3, -1) proj_ортогональное (х) = х - proj_пространство (х) = (-1, 3, -5) - (-9/5, 3/5, -7/5) = (-1/5, 12/5, -18/5) Таким образом, мы можем разложить вектор х на сумму двух векторов: один лежит в подпространстве, натянутом на векторы а1 и а2, и равен (-9/5, 3/5, -7/5), а другой ортогонален этому подпространству, и равен (-1/5, 12/5, -18/5). Таким образом, мы получили разложение вектора х на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы а1 и а2, а другой ортогонален этому подпространству: х = (-9/5, 3/5, -7/5) + (-1/5, 12/5, -18/5) Проверим, что это действительно разложение вектора х на сумму двух векторов: (-9/5, 3/5, -7/5) + (-1/5, 12/5, -18/5) = (-10/5, 15/5, -25/5) = (-2, 3, -5) = х Таким образом, разложение верно.