5. Дано точки А (1;2), В (2;5), С (5;4), A (1;2), B (2;5), C(5;4), D (4; 1). Довести, ЩО чотирикутник ABCD - прямокутник.​

Для доведення, що чотирикутник ABCD є прямокутником, ми повинні перевірити, чи є прямі AB і CD перпендикулярними, а також, чи є прямі BC і AD перпендикулярними.

Ми можемо використати теорему Піфагора, щоб перевірити, чи є прямі перпендикулярними. Якщо квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, то прямі є перпендикулярними.

Візьмемо прямі AB і CD. Вектор AB має координати (2-1, 5-2) = (1, 3), а вектор CD має координати (4-5, 1-4) = (-1, -3).

Довжина вектора AB дорівнює √(1^2 + 3^2) = √10.

Довжина вектора CD дорівнює √((-1)^2 + (-3)^2) = √10.

Тому, AB і CD є перпендикулярними, бо їх довжина однакова, а їх вектори перпендикулярні.

Тепер візьмемо прямі BC і AD. Вектор BC має координати (5-2, 4-5) = (3, -1), а вектор AD має координати (4-1, 1-2) = (3, -1).

Довжина вектора BC дорівнює √(3^2 + (-1)^2) = √10.

Довжина вектора AD дорівнює √(3^2 + (-1)^2) = √10.

Тому, BC і AD є перпендикулярними, бо їх довжина однакова, а їх вектори перпендикулярні.