4.1. Периметр ромба равен 42 см, а один из его углов на 60° меньше другого. Найдите (в См) меньшую диагональ ромба

Пусть угол ромба равен x градусов, тогда второй угол будет равен (x + 60) градусов, так как сумма углов в ромбе равна 360°. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных треугольника, то каждый из углов треугольника равен (x + 60)/2 градусов. Тогда синус этого угла равен sin((x + 60)/2). Пусть a – сторона ромба, тогда периметр равен 4a, то есть 4a = 42, следовательно, a = 10,5 см. Меньшая диагональ ромба равна 2a * sin((x + 60)/2). Таким образом, мы можем записать уравнение: 2 * 10,5 * sin((x + 60)/2) = меньшая диагональ. Нам нужно решить это уравнение, чтобы найти меньшую диагональ. Для этого мы должны знать значение sin((x + 60)/2). sin((x + 60)/2) = sin(x/2 + 30) = cos(30) * sin(x/2) + sin(30) * cos(x/2) = √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2). Теперь мы можем записать окончательное уравнение: 2 * 10,5 * ( √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2)) = меньшая диагональ. Решив это уравнение, получим: меньшая диагональ = 2 * 10,5 * ( √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2)) = 15√3 см. Ответ: меньшая диагональ ромба равна 15√3 см.

Dmin = 10,5