Доказать теорему о сумме углов треугольника, используя односторонние углы

Для доказательства теоремы о сумме углов треугольника можно использовать понятие односторонних углов. Предположим, что у нас есть треугольник $ABC$. Мы можем продлить сторону $AB$ до точки $D$ так, что $CD$ будет являться высотой треугольника $ABC$.  Тогда мы можем рассмотреть односторонние углы $\angle ACD$ и $\angle BCD$. По определению односторонних углов: $$\angle ACD = \angle ACH + \angle HCD$$ $$\angle BCD = \angle BCH + \angle HCD$$ Здесь $\angle HCD$ - это прямой угол, а $\angle ACH$ и $\angle BCH$ - это углы треугольника $ABC$, смежные с углом $ACB$. Это можно проиллюстрировать на следующей диаграмме:  Также мы можем заметить, что в треугольнике $ACD$ угол $\angle ACD$ и угол $\angle CAD$ суммируются до прямого угла: $$\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ$$ Аналогично, в треугольнике $BCD$ угол $\angle BCD$ и угол $\angle CBD$ суммируются до прямого угла: $$\angle BCD + \angle CBD = 90^\circ$$ Складывая два уравнения, получаем: $$(\angle ACD + \angle CAD) + (\angle BCD + \angle CBD) = 180^\circ$$ Так как $\angle CAD = \angle CBD = \angle ACB$, мы можем записать: $$\angle ACD + \angle BCD + 2\angle ACB = 180^\circ$$ Заметим, что угол $\angle ACB$ является углом треугольника $ABC$. Из этого следует, что: $$\angle ACD + \angle BCD + \angle ACB = 180^\circ$$ Это и есть теорема о сумме углов треугольника.