Задача по геометрии, 11 класс

Пусть ребро куба равно a, тогда его диагональ равна √3a. Поскольку диагональное сечение куба имеет форму квадрата, то его площадь равна S = a^2. Рассмотрим описанный вокруг куба цилиндр. Так как его высота равна a, то диаметр цилиндра также равен a, а радиус r = a/2. Тогда площадь основания цилиндра равна S' = πr^2 = π(a/2)^2 = πa^2/4. Объем цилиндра можно найти по формуле V = S' * h, где h - высота цилиндра. Найдем высоту цилиндра. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось и вершину куба. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой √3a (это диагональ куба) и катетами a/2 и h. Используя теорему Пифагора, получим: (√3a)^2 = (a/2)^2 + h^2 3a^2 = a^2/4 + h^2 h^2 = 11a^2/4 h = a*√11/2 Теперь можем вычислить объем цилиндра: V = S' * h = (πa^2/4) * (a√11/2) = πa^3√11/8. Ответ: V = πa^3*√11/8.