Вычислить площадь фигуры: б) ограниченной линией x = 7cos^5 ,y = 7sin^5 t

Ответ:

267.541

Объяснение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме x = f(t), y = g(t), следует использовать формулу:

S = ∫[a,b] y dx = ∫[α,β] g(t) f'(t) dt,

где f'(t) - производная функции f(t) по t.

В данном случае имеем:

x = 7cos^5(t), y = 7sin^5(t),

тогда производная функции x(t) равна

x'(t) = -35cos^4(t)sin(t),

а площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0,2π] 7sin^5(t) (-35cos^4(t)sin(t)) dt

S = -245∫[0,2π] sin^6(t)cos^4(t) dt

Для решения данного интеграла, воспользуемся формулой

∫ sin^m(t)cos^n(t) dt = (sin^(m+1)(t)cos^(n-1)(t))/(m+1) + [(n-1)/(m+1)]∫sin^m(t)cos^(n-2)(t) dt,

где m и n - целые неотрицательные числа.

Применяя данную формулу несколько раз, получаем:

S = -245∫[0,2π] sin^6(t)cos^4(t) dt

S = -245[(sin^7(t)cos^3(t))/21 - (3sin^5(t)cos^3(t))/5 + (3sin^3(t)cos^3(t))/4 - (sin(t)cos^3(t))/4] from 0 to 2π

S = 245/4 * π * (7/16)

S = 267.541

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линией x = 7cos^5(t), y = 7sin^5(t), равна приблизительно 267.541.

Площадь фигуры, ограниченной линией x = 7cos^5(t), y = 7sin^5(t) равна:

S = 2 * ∫[0,1] 35u^2(1-u)^2 √(1-u) du, где u = cos^2(t).

Этот интеграл можно вычислить методом интегрирования по частям или разложением подынтегральной функции на множители и использованием стандартных интегралов. Ответ численно равен:

S = 210π/256.