ПОЖАЛУЙСТА!!! ДАЮ 100 БАЛЛОВ!! (За спам жалобу кидаю) Решение (доказательство) должно быть полным, с пояснениями, которые опираются на уже изученные факты, формулы, определения, аксиомы, теоремы и следствия из них. В каждом задании необходимо выполнить рисунок. Задание 1 (14 баллов). На рисунке ∠OKN = ∠OML = 90°, а OK = OM. Докажите, что KL = MN. Skrinshot 13-10-2021 123842.png Задание 2 (16 баллов). На рисунке AB = CD, AK = CL, ∠AKB = ∠CLD = 90°. Докажите, что BC = AD. Skrinshot 13-10-2021 123905.png Задание 3 (20 баллов). В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена биссектриса BК, равная АВ. Найдите угол ВКС. Задание 4 (25 баллов). В треугольнике KLM проведена биссектриса MN и KN = MN, ∠NKM = 30°. Докажите, что KL > LM. Назовите вид треугольника KLM. Задание 5 (25 баллов). В треугольнике АВС провели высоты ВК и СP, которые пересекаются в точке F и BF = CF. Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным.

Ответ:

Задание 1.

По условию ∠OKN = ∠OML = 90° и OK = OM. Из этого следует, что треугольники OKN и OML равны по гипотенузе и катету, так как OK = OM и ∠OKN = ∠OML = 90°. Следовательно, KN = ML. Также по условию ∠KNL = ∠MNL = 90°, а ON - общая сторона. Значит, треугольники KNL и MNL равны по гипотенузе и катету, и KL = MN. Доказано.

Ответ: KL = MN.

Задание 2.

По условию AB = CD, AK = CL, ∠AKB = ∠CLD = 90°. Построим перпендикуляры BK и DL, которые пересекутся в точке E (см. рисунок). По построению AE = CE. Также ∠AEB = ∠CEB = 90°, следовательно, треугольники AEB и CEB равны по гипотенузе и катету. Значит, AB = CB.

Аналогично, ∠BED = ∠AED = 90°, а ED - общая сторона. Треугольники AED и CED равны по гипотенузе и катету, а значит, AD = CD.

Таким образом, мы доказали, что AB = CB и AD = CD. Следовательно, BC = AD. Доказано.

Ответ: BC = AD.

Задание 3.

По условию треугольник ABC равнобедренный с основанием AB и биссектрисой BK, равной АВ. Значит, ∠ABC = ∠ACB и ∠ABK = ∠CBK.

Также, так как BK - биссектриса, то ∠ABK = ∠CBK = 90° - ∠BAC/2.

Из этих двух равенств следует, что ∠ABC = ∠ACB = 180° - ∠BAC. Тогда угол ВКС равен ∠BAC/2.

Ответ: угол ВКС равен ∠BAC/2.

Задание 4:

Сначала заметим, что из условия KN = MN и ∠NKM = 30° следует, что ∠KMN = 75° и ∠MKN = 75°. Также заметим, что в треугольнике KMN угол при вершине K больше угла при вершине L, так как ∠KMN = 75° > ∠KLM = 60°. Поэтому сторона KL должна быть больше стороны KM, чтобы угол при вершине L был равен углу при вершине K. Следовательно, KL > KM.

Также заметим, что в треугольнике KLM угол при вершине L больше угла при вершине M, так как ∠KLM = 60° > ∠KML = 45°. Поэтому сторона LM должна быть меньше стороны KL, чтобы угол при вершине L был равен углу при вершине M. Следовательно, LM < KL.

Таким образом, получаем неравенство KL > KM > LM, откуда KL > LM. Вид треугольника KLM - остроугольный.

Задание 5:

Пусть H - точка пересечения высот ВК и СP, а M и N - основания перпендикуляров из вершины А на стороны ВС и BK соответственно. Так как ВК и СP - высоты, то треугольник BMH и треугольник CNH прямоугольные, причем ∠BMH = ∠CNH = 90°.

Также заметим, что из условия BF = CF следует, что точка H лежит на биссектрисе угла ВАС. Так как треугольник BMH прямоугольный, то точка M является серединой гипотенузы BH. Аналогично, из прямоугольности треугольника CNH следует, что точка N является серединой гипотенузы CH.

Следовательно, MN параллельна и равна стороне АС, а KM параллельна и равна стороне ВС. Из этого следует, что треугольник АВС равнобедренный, так как ВК и СP являются высотами, а МН является их высотой, проходящей через вершину А и перпендикулярной к основанию ВС.

Объяснение: