3 точки М, що лежить поза колом, проведено дві дотичні. Відстань від точки М до центра кола удвічі більша за радіус кола. Знайдіть кут між дотичними.

Ответ:

Спочатку позначимо точку центра кола як O, а радіус кола як r. Тоді відстань від точки M до центра кола буде 2r. Позначимо точки дотику дотичних з колом як A і B. Тоді за властивістю кутової бісектриси у трикутнику OMA можна знайти, що кут OMA дорівнює півсумі кутів, які утворюють дотична OA та OM. Аналогічно, кут OMB дорівнює півсумі кутів, які утворюють дотична OB та OM. За умовою задачі, OA=OB=r, OM=2r.

Тоді маємо:

$$\angle OMA = \frac{1}{2}(\angle AOM + \angle AOB) = \frac{1}{2}(90^\circ + \angle AOB)$$

$$\angle OMB = \frac{1}{2}(\angle BOM + \angle BOA) = \frac{1}{2}(90^\circ + \angle AOB)$$

Оскільки $\angle AOB$ - центральний кут, а $\angle MOB$ та $\angle MOA$ є вписаними кутами, то вони дорівнюють $\frac{1}{2}\angle AOB$.

Отже,

$$\angle OMA = \angle OMB = \frac{1}{2}(90^\circ + \frac{1}{2}\angle AOB) = 45^\circ + \frac{1}{4}\angle AOB$$

Оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює $180^\circ$, то маємо:

$$\angle AOM + \angle MOB + \angle BOM = 180^\circ$$

$$\angle AOM + 2\angle OMA = 180^\circ$$

$$\angle AOM = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOB$$

Звідси отримуємо:

$$\angle AOB = 2(90^\circ - \angle AOM) = 180^\circ - 2\angle AOM$$

Підставляючи вираз для $\angle OMA$ вище, маємо:

$$\angle OMA = 45^\circ + \frac{1}{4}(180^\circ - 2\angle AOM) = 45^\circ + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle AOM$$

$$\angle OMA = 135^\circ - \frac{1}{2}\angle AOM$$

Аналогічно, для $\angle OMB$ отримуємо:

$$\angle OMB = 135^\circ - \frac{1}{2}\angle BOM$$

За теоремою про сум

Объяснение: