У трикутнику ABC медіана AD вдвічі менша сторони BC. Знайдіть кут A трикутника ABC.

Ответ:

За властивостями медіан трикутника, медіана AD ділить сторону BC пополам і утворює дві рівні частини.

Нехай сторона BC має довжину а, тоді медіана AD має довжину а/2.

Оскільки медіана ділить сторону BC пополам, то за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2

Оскільки AB = AC (за властивостями медіан), то можемо записати:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Оскільки AD = BD і CD = BC/2 = a/2, то:

AB^2 = 4AD^2 + a^2/4

AC^2 = 4AD^2 + a^2/4

Оскільки AB = AC, то:

4AD^2 + a^2/4 = 4AD^2 + a^2/4

4AD^2 = 0

AD = 0

Це означає, що точка D збігається з вершиною A, тобто медіана AD є бісектрисою кута A. Тому кут A ділиться на два рівні кути між медіаною AD та стороною BC.

Отже, кут A дорівнює 2 кутам, утвореним медіаною AD та стороною BC. Оскільки медіана AD ділить сторону BC пополам, то кожен з цих кутів дорівнює куту BAC/2.

Отже, кут A дорівнює 2 * (BAC/2) = BAC.

Отже, кут A дорівнює куту BAC, тобто куту при вершині A трикутника ABC.