В треугольнике ABC угос C равен 90°. tg B = 9/√19. Найдите cos A

Рисунок с обозначениями: A | | c | b |__B__|__ C aТак как угол C равен 90°, то по теореме Пифагора имеем: a^2 + b^2 = c^2Для нахождения cos A разобьем треугольник на два прямоугольных: A | | c | b |__B__|___D | | | | h |___| C E aЗдесь E – точка пересечения высоты из вершины C с основанием AB, и мы обозначили прямые BE = h и DE = a * cos(A).Рассмотрим треугольник CBE. Так как он прямоугольный, то по теореме Пифагора: BE^2 + CE^2 = BC^2Заменяем CE на a * sin(A) и BC на c: h^2 + (a * sin A)^2 = c^2Рассмотрим теперь треугольник CDE. Он тоже прямоугольный, и мы знаем, что его катеты равны a * cos(A) и h. Тогда: cos(A) = CD/CE = (a * cos(A)) / hРешаем уравнения относительно cos A и подставляем выражение для h, которое мы выразили из предыдущего уравнения: h^2 + (a * sin A)^2 = c^2 h^2 = c^2 - (a * sin A)^2 cos(A) = (a * cos(A)) / sqrt(c^2 - (a * sin A)^2) cos(A) = cos(A) / sqrt(1 - (a^2 / c^2) * sin^2(A)) cos(A) * sqrt(1 - (a^2 / c^2) * sin^2(A)) = 1 cos^2(A) * (1 - (a^2 / c^2) * sin^2(A)) = 1 cos^2(A) * (c^2 - a^2 * sin^2(A)) / c^2 = 1 cos^2(A) = c^2 / (c^2 - a^2 * sin^2(A)) cos^2(A) = (b^2 + c^2) / (b^2 + c^2 - a^2 * sin^2(A)) cos^2(A) = (b^2 + c^2) / (b^2 + c^2 - a^2 * (b^2 / c^2)) cos^2(A) = (b^2 + c^2) / (c^2 - b^2 * a^2 / c^2) cos^2(A) = (b^2 + c^2) / (c^2 - b^2)Подставляем известные значения: tg B = 9 / sqrt(19) b / a = tg B b^2 = a^2 * tg^2(B) = a^2 * 9/19 c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 * 9/19 = 28/19 * a^2Получаем: cos^2(A) = (9/19 * a^2 + 28/19 * a^2) / (28/19 * a^2 - 9/19 * a^2) cos^2(A) = 37/19 cos(A) = ± sqrt(37/19)Так как угол A – острый, то cos A должен быть положительным. Ответ: cos A = sqrt(37/19)

Уууууууу для меня это темный лес