Визначити повну поверхню призми, в основі якої лежить ромб з тупим кутом 120° і меншою діагоналлю 8 дм, якщо більша діагональ призми утворює з основою кут 45°

Поверхня призми складається з двох частин: бічної поверхні і основи.

Основа призми - ромб з меншою діагоналлю 8 дм і тупим кутом 120°. За властивостями ромба, його більша діагональ дорівнює:

$d = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$ дм.

Також зазначено, що більша діагональ утворює з основою кут 45°. Це означає, що більший ромб, який утворюється зі сторонами призми та діагоналями основи, має кут 45°.

За теоремою Піфагора, більший ромб має довжину сторони:

$s = \frac{d}{\sqrt{2}} \approx 3.28$ дм.

Тоді бічна поверхня призми складається з чотирьох прямокутних трикутників зі сторонами $s$ та $h$, де $h$ - висота призми. З огляду на те, що кут між діагоналлю та висотою ромба дорівнює 30°, можна знайти висоту:

$h = \frac{d}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31$ дм.

Отже, бічна поверхня призми складається з чотирьох прямокутних трикутників зі сторонами $s \approx 3.28$ дм та $h \approx 2.31$ дм, тобто її площа дорівнює:

$S_{біч} = 4 \cdot \frac{1}{2}sh \approx 18.99$ дм².

Оскільки основою призми є ромб, її площа дорівнює:

$S_{осн} = d^2 \cdot \sin(120°) \approx 79.06$ дм².

Таким чином, повна поверхня призми складається з бічної поверхні та двох основ, тому:

$S_{повн} = S_{біч} + 2S_{осн} \approx 176.11$ дм².

Отже, повна поверхня призми дорівнює близько 176.11 дм².