Основа трикутної піраміди DABC - прямокутний трикутник (∠B=90°). Кожне бічне ребро утворює з площиною основи кут 30°. Відстань від середини гіпотенузи основи до ребра BD дорівнює m. Знайдіть об'єм піраміди, якщо кут між площинами ADB і ABD дорівнює 45°.

Відповідь:

Означимо сторони прямокутного трикутника на основі як AB = a, BC = b, AC = c. Тоді медіана BM рівна половині гіпотенузи:

BM = BD = c/2.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABC:

c^2 = a^2 + b^2.

Також маємо, що кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює 30°. Отже, кут між бічним ребром та медіаною BM дорівнює 60°. Застосуємо теорему косинусів для трикутника BDM:

BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2BM⋅DM⋅cos(60°).

Підставимо BM = BD = c/2:

(c/2)^2 = (c/2)^2 + DM^2 - 2(c/2)⋅DM⋅cos(60°).

Спростимо:

DM^2 = (c/2)^2 - (c/2)⋅DM.

Відстань від точки D до площини ABC дорівнює висоті трикутника ABC з основою c. Оскільки кут між площинами ADB і ABD дорівнює 45°, то точка D лежить на бісектрисі кута ADB, і відстань від неї до точки перетину бісектриси з основою AB дорівнює m/2. Тому висота трикутника ABC з основою c дорівнює:

h = m/2 + DM.

Підставляємо в формулу для об'єму піраміди:

V = (1/3)S⋅h,

де S - площа основи, а h - висота піраміди.

Площа трикутника ABC дорівнює:

S = (1/2)⋅a⋅b.

Отже, об'єм піраміди можна обчислити за формулою:

V = (1/6)⋅a⋅b⋅(m + c/2 - √(c^2/4 - (c/2)⋅m)).

Пояснення: