В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Ответ:

Найти гипотенузу треугольника.

Діана Думбрава

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$. Тогда медианы, проведенные к катетам, равны:

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \sqrt{89}$$

$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \sqrt{116}$$

Решая эту систему уравнений относительно $a^2$ и $b^2$, получим:

$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4m_a^2 = 198 + 2c^2$$

$$b^2 = 2a^2 + 2c^2 - 4m_b^2 = 232 + 2c^2$$

Сложим эти выражения:

$$a^2 + b^2 = 430 + 4c^2$$

Но мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, поэтому:

$$c^2 = 430 + 4c^2$$

$$3c^2 = 430$$

$$c^2 = \frac{430}{3}$$

Таким образом, гипотенуза равна:

$$c = \sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$$

Ответ: $\sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$.

Объяснение:

Найти гипотенузу треугольника.

Діана Думбрава

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$. Тогда медианы, проведенные к катетам, равны:

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \sqrt{89}$$

$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \sqrt{116}$$

Решая эту систему уравнений относительно $a^2$ и $b^2$, получим:

$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4m_a^2 = 198 + 2c^2$$

$$b^2 = 2a^2 + 2c^2 - 4m_b^2 = 232 + 2c^2$$

Сложим эти выражения:

$$a^2 + b^2 = 430 + 4c^2$$

Но мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, поэтому:

$$c^2 = 430 + 4c^2$$

$$3c^2 = 430$$

$$c^2 = \frac{430}{3}$$

Таким образом, гипотенуза равна:

$$c = \sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$$

Ответ: $\sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$.