У трикутнику ABC відомо, що ∠ С=90°, ∠B=30°. На катеті ВС позначели точку D так, що ∠ADC=60°. Знайдіть катет ВС, якщо CD=5 см

Відповідь:

Розглянемо трикутник ADC. Оскільки ∠ADC=60°, то трикутник ADC є рівностороннім, тобто AD=CD=5 см. Позначимо точку E на катеті АВ так, що DE ⊥ АВ. Оскільки трикутник ABC є прямокутним і ∠B=30°, то ∠CAB=60° і трикутник АЕD також є рівностороннім. Отже, AE=ED=AD=5 см.

Позначимо ВD=x. Тоді BC=BD+DC=x+5 см. Оскільки ∠B=30°, то ми можемо використовувати теорему синусів для трикутника ABC:

sin 30°/BC = sin 90°/AB

sin 30°/(x+5) = 1/AB

AB = (x+5)/sin 30° = 2(x+5) см.

Також ми можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника ABD:

AB² = AD² + BD²

(2(x+5))² = 5² + x²

4(x+5)² = 25 + x²

4x² + 80x + 400 = 25 + x²

3x² - 80x + 375 = 0

(x-15)(3x-25) = 0

Оскільки x = BD > 0, то ми отримуємо x = BD = 15 см.

Висновок: катет ВС дорівнює BC = BD + DC = 15 + 5 = 20 см.

Пояснення: