Трикутник АВС, площа якого дорівнює 32 кв.см , є ортогональною прекцією рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Знайдіть кут між площинами трикутників.

Ответ:

Объяснение:

Оскільки трикутник АВС є ортогональною проекцією рівностороннього трикутника, то він також є рівностороннім. Позначимо його сторону як а.

Тоді площа трикутника АВС дорівнює:

32 кв.см = (1/2) * а * h,

де h - висота трикутника АВС.

Відомо, що в рівносторонньому трикутнику висота ділить бічну сторону на 2, тобто h = (а * sqrt(3))/2.

Тоді ми можемо записати:

32 кв.см = (1/2) * а * (а * sqrt(3))/2

64 = а^2 * sqrt(3)

а = 8 * sqrt(3)

Тепер розглянемо трикутник, утворений діагоналлю рівностороннього трикутника та прямою, що проведена з його вершини до середини протилежної сторони.

Цей трикутник є прямокутним, бо діагональ рівностороннього трикутника є його діаметром, а пряма, що проведена з вершини трикутника до середини протилежної сторони, є його висотою.

Тому, за теоремою Піфагора, сума квадратів катетів цього трикутника дорівнює квадрату його гіпотенузи, тобто:

(а/2)^2 + (a/2)^2 = 8^2

а^2/4 = 32

а^2 = 128

Тепер, використовуючи вираз для площі трикутника через його сторону, ми можемо знайти висоту трикутника:

32 кв.см = (1/2) * а * h

h = 4/а

h = 4/(8*sqrt(3)) = sqrt(3)/6

Тепер розглянемо площини трикутників АВС та АВС', де АВС' - рівносторонній трикутник, проекцією якого є трикутник АВС.

Кут між цими площинами можна знайти за формулою:

cos(α) = (h/h')

де h - висота трикутника АВС, h' - висота трикутника АВС' (рівностороннього трикутника, проекцією якого є трикутник АВС), α - кут між площинами.

Ми вже знайшли значення висоти трикутника АВС, а висота трикутника АВС' дорівнює (а * sqrt(3))/2, оскільки в рівносторонньому трикутнику висота ділить бічну сторону на 2.

Тоді:

cos(α) = h/(a * sqrt(3)/2)

cos(α) = (sqrt(3)/6)/((8*sqrt(3))/2)

cos(α) = 1/4

α = arccos(1/4)

α ≈ 75.5 градусів.

Отже, кут між площинами трикутників АВС та АВС' дорівнює близько 75.5 градусів.