№ 5. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 6 см, а протилежний до нього кут 60°. Знайдіть другий катет і гіпотенузу.Швидко даю 50 балов и росписать​

За теоремою синусів у прямокутному трикутнику:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin 90^\circ} = c$

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin 90^\circ} = c$

де $a$, $b$, $c$ - довжини сторін трикутника, $\alpha$ та $\beta$ - протилежні кути.

Так як протилежний до катета кут дорівнює 60°, то ми можемо записати:

$\alpha = 90^\circ$ (бо кут прямий)

$\beta = 60^\circ$

$a = 6 \text{ см}$

Тоді:

$c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{6}{\sin 90^\circ} = 6 \text{ см}$

$b = \frac{c}{\tan \beta} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Отже, другий катет дорівнює $2\sqrt{3}$ см, а гіпотенуза дорівнює 6 см.

Ответ:

Другий катет:

Застосуємо теорему синусів:

sin(60°) = b / c

b = c * sin(60°)

b = 6 * sqrt(3)

Гіпотенуза:

Застосуємо теорему Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

6^2 + (6 * sqrt(3))^2 = c^2

36 + 108 = c^2

c^2 = 144

c = 12

Отже, другий катет дорівнює 6 * sqrt(3) см, а гіпотенуза - 12 см.