Угол между плоскостями, геометрия

Для решения задачи воспользуемся свойством векторного произведения двух векторов, которое равно площади параллелограмма, образованного этими векторами. Пусть векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ соответственно равны: $$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\-\sqrt{2}\0\end{pmatrix}$$ Тогда векторное произведение этих векторов будет равно: $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\0\-\sqrt{2}\end{pmatrix}$$ Таким образом, вектор нормали к плоскости ABC имеет координаты $(0,0,-\sqrt{2})$. Угол между плоскостями ABC и ADC равен углу между их нормалями. Поэтому нам нужно найти косинус этого угла: $$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{ABC}\cdot\overrightarrow{ADC}}{\left|\overrightarrow{ABC}ight|\cdot\left|\overrightarrow{ADC}ight|}$$ Вектор нормали к плоскости ADC можно найти, используя векторное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}-1\0\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\-\sqrt{2}\0\end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\0\\sqrt{2}\end{pmatrix}$$ Таким образом, вектор нормали к плоскости ADC имеет координаты $(0,0,\sqrt{2})$. Длины векторов $\overrightarrow{ABC}$ и $\overrightarrow{ADC}$ можно найти, используя расстояния между точками: $$\left|\overrightarrow{ABC}ight| = AB\cdot BC = 1\cdot 1 = 1, \quad \left|\overrightarrow{ADC}ight| = AD\cdot AC = 1\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$$ Подставляя все значения в формулу для косинуса угла между плоскостями, получаем: $$\cos\theta = \frac{(0,0,-\sqrt{2})\cdot(0,0,\sqrt{2})}{1\cdot\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Первым шагом найдем длину отрезка AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: $$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 2 - 1 = 1$$ Отсюда получаем, что $AB = 1$ см. Далее рассмотрим треугольник ABD. Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостями ABC и ADC, а $\beta$ — угол между прямой AB и плоскостью ACD. Тогда, используя формулу для косинуса угла между векторами: $$\cos\alpha = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{\left|\mathbf{n}_1ight| \cdot \left|\mathbf{n}_2ight|},$$ где $\mathbf{n}_1$ и $\mathbf{n}_2$ — нормали к плоскостям ABC и ADC соответственно, а $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов. Первым шагом найдем нормали к плоскостям. Нормаль к плоскости ABC — это векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$: $$\mathbf{n}_1 = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 \end{pmatrix}.$$ Нормаль к плоскости ADC — это векторное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AC}$: $$\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}.$$ Найдем теперь угол $\beta$ между прямой AB и плоскостью ACD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD: $$\tan\beta = \frac{AD}{CD} = \frac{AB \cos\angle ACB}{AC} = \frac{1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}.$$ Отсюда получаем, что $\beta = \arctan\frac{1}{2} \approx 26.57^\circ$. Теперь можем вычислить косинус угла $\alpha$: {n}_2ight|} = \frac{\begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -1 \ -1 \ -1 \end{pmatrix}ight| \cdot \left|\begin{pmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{pmatrix}ight|} = \frac{-1}{\sqrt{3}}.$$ Значит, $\alpha = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}ight) \approx 131.81^\circ$. Ответ: угол между плоскостями ABC и ADC равен примерно $131.81^\circ$.