2. Знайдіть об'єм правильноï трикутноï призми, дiагональ бiчноï гранi якої дорівнює 4 і утворює кут 60° 3 площиною основи. ​

Відповідь: Для знаходження об'єму правильної трикутної призми потрібно знати її висоту та площу основи.

Позначимо сторону трикутника, що утворює площину основи, як a. Оскільки призма є правильною, то її висота рівна бічній грані, а діагональ бічної грані, що утворює кут 60°, дорівнює 2a (бо у правильному трикутнику сторона, що дорівнює половині діагоналі, утворює кут 30° з кожним з кутів основного трикутника).

Тоді, за теоремою Піфагора, довжина сторони бічної грані дорівнює:

√(4² - a²)

Оскільки кут між діагоналлю і стороною бічної грані дорівнює 60°, то можна скористатися формулою для площі рівнобедреного трикутника, де бічна сторона (протилежна кута 60°) дорівнює √(4² - a²), а основа (рівна стороні трикутника основи) дорівнює a:

S = (1/2) * a * √(4² - a²)

Знаючи площу основи, можна знайти об'єм призми, який дорівнює:

V = (1/3) * S * h

де h - висота призми (дорівнює бічній грані).

Отже, потрібно знайти площу основи та висоту призми.

Площа основи складається з трьох однакових рівносторонніх трикутників зі стороною a:

S₀ = 3 * (a² * √3) / 4 = (3/4) * a² * √3

Висота призми дорівнює довжині бічної грані, тобто 2a.

Отже, маємо:

V = (1/3) * S₀ * h = (1/3) * [(3/4) * a² * √3] * 2a = (1/2) * a³ * √3

Пояснення: