5. Дано трикутник АКМ. Площина а, паралельна прямій АК, перетинає сторону АМ В Точн В, а сторону КМ-в точці С. Знайти ВС, якщо AK=27 см, MC:CK=4:3.​

Спочатку знайдемо довжину сторони AM трикутника АКМ. За теоремою Піфагора маємо:

AM² = AK² - KM²

За відомими значеннями, AK = 27 см. Також, за теоремою Піфагора, можна записати:

KM² = KC² + MC²

Ми знаємо, що співвідношення MC:CK дорівнює 4:3, тобто можна записати, що:

MC = (4/7) * KM

CK = (3/7) * KM

Тоді можна замінити значення KM в попередньому рівнянні:

KM² = KC² + (4/7)² * KM²

(3/7)² * KM² = KC²

KC = (3/7) * KM

Підставляючи вирази для KM та KC в рівняння теореми Піфагора, отримуємо:

AM² = 27² - (KM² = KC² + MC²)

AM² = 27² - [(3/7)² + (4/7)² * KM²]

AM² = 27² - (25/49) * KM²

Площина а паралельна прямій АК, тому кут КВС дорівнює куту АМС. За теоремою Блонделля можна записати:

MC / CK = AS / SB

Для простоти позначимо довжину сторони ВС як х. Тоді можемо записати, що:

MC / CK = (AS + SC) / (SB + SC)

MC / CK = (AM - AS) / (KB - BS)

Підставляємо відомі значення:

4 / 3 = (AM - AS) / [(KM - BS) * (3/7)]

4 / 3 = (AM - AS) / [(4/7) * KM - x]

Також, за теоремою Піфагора, можна записати:

BS² = BC² - CS²

KM - BS = x

Підставляючи значення BS та KM - BS в попереднє рівняння, отримуємо:

4 / 3 = (AM - AS) / [(4/7) * KM - x]

4 / 3 = (AM - AS) / [(4/7) * KM - (KM - x)]

4 / 3 = (AM - AS) / (3/7 * x)

Підставляємо вираз для AM², який ми знайшли раніше:

4 / 3 = [(27² - (25/49) * KM²)^(1/2) - AS] / (3/7 * x)