Отдаю последние балы, помогите: У колі проведено діаметр AB та хорди AC i CD так, що АС = 12 см, кут BAC = 30°, AB перпендикулярно CD. Знайдіть довжину хорди CD​

Ответ:

За теоремою косинусів у трикутнику ABC маємо:

AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos(∠ABC)

Оскільки ∠BAC = 30°, то ∠ABC = 90°, тому:

AC² = AB² + BC²

Оскільки AB є діаметром кола, то BC є радіусом кола, тобто BC = r, де r - радіус кола. Підставляємо це в попереднє рівняння:

AC² = AB² + r²

AB = 2r, оскільки AB є діаметром кола, тому:

r = AB/2

Підставляємо це у попереднє рівняння і отримуємо:

AC² = AB² + (AB/2)²

Розв'язуємо це рівняння відносно AB:

AB² = (4/3)AC²

AB = 2√(1/3)·AC = 4√(1/3) см

Тепер розглянемо прямокутний трикутник ACD:

Оскільки AB перпендикулярна CD, то ∠ACB = 90°. Застосовуючи теорему Піфагора в трикутнику ACD, отримуємо:

CD² = AC² - AD²

Оскільки AD = AB/2, то:

CD² = AC² - (AB/2)² = 12² - (4√(1/3) / 2)² = 144 - 4/3 = 142 2/3

Отже, довжина хорди CD дорівнює √142 2/3 см.