Висоти AD і CE трикутника ABC перетинаються в точці М. Знайдіть кут DME, якщо 45°. Кут ВСА дорівнює 75°, а кут ВАС - 45°​

Необхідно намалювати трикутник ABC та відзначити точку М, висоти AD і CE якого перетинаються в точці М. Тоді, згідно з умовою, ми знаємо, що кут ВСА дорівнює 75°, а кут ВАС дорівнює 45°.

triangle_ABC

Розглянемо трикутник АВС. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то кут АВС дорівнює:

АВС = 180° - ВСА - ВАС = 180° - 75° - 45° = 60°

Також ми знаємо, що висота СЕ є бісектрисою кута АСВ, тому кути СЕА і СВА рівні між собою. Аналогічно, висота AD є бісектрисою кута АВС, тому кути DАС і ВАС рівні між собою. Отже:

кут СЕА = кут СВА = 45°

кут DАС = кут ВАС = 45°

З цього випливає, що кути СЕВ і DАВ також рівні між собою:

кут СЕВ = кут DАВ

Тепер звернемо увагу на трикутник МСЕ. Оскільки він є прямокутним, то кут СМЕ дорівнює 90°. З іншого боку, кути СЕМ і СЕВ є доповненням до 45°:

кут СЕМ = 180° - кут СМЕ - кут СЕВ = 180° - 90° - 45° = 45°

З останнього співвідношення випливає, що кути СЕМ і МЕВ також рівні між собою:

кут СЕМ = кут МЕВ

Тепер звернемо увагу на трикутник МАD. Оскільки він є прямокутним, то кут МАД дорівнює 90°. З іншого боку, кути МАД і ДАВ є доповненням до 45°:

кут МАД = 180° - кут МАD - кут ДАВ = 180° - 90° - 45° = 45°

З останнього співвідношення