Задача по планиметрии #2

Для начала заметим, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности, так как они являются центрами вписанных окружностей в треугольники ABC, ADC, ABD и BDC соответственно. Также заметим, что диагонали параллелограмма ABCD делятся окружностями на 4 равные дуги, поэтому углы ABC и ADC, а также углы ABD и BDC равны между собой (в каждой паре углов они дополнительны друг к другу). Теперь рассмотрим треугольники BMN и KNL. Они равнобедренные, так как точки M, N, K, L являются центрами вписанных окружностей. Значит, углы BMN и KNL равны между собой, а значит, они являются дополнительными к углам ABC и ADC (так как эти углы лежат на той же дуге окружности). Аналогично, углы BNM и LKN являются дополнительными к углам ABD и BDC. Из всего вышесказанного следует, что углы BMN, KNL, BNM и LKN равны между собой и дополнительны углам ABC, ADC, ABD и BDC. Значит, четырехугольник MKNL является прямоугольником (как сумма дополнительных углов к двум параллельным сторонам). Таким образом, мы доказали, что MKNL является прямоугольником.