У прямокутному трикутнику ABC провели висоту CD до гіпотенузи АВ. Відомо, що <АСD=60° i AB=32см. Знайдіть довжину відрізка DB​

CD - высота, опущенная на гипотенузу;

AC = BD - катеты треугольника;

AB - гипотенуза.

CD делит гипотенузу на два отрезка в отношении 1:2, поэтому:

AB = AC + BD

AB = CD + 2BD

Подставляем известные значения:

AB = 32 см

Также заметим, что треугольник ACD является 30-60-90 треугольником, поэтому:

AC = CD * sqrt(3)

Подставляем:

32 = CD * sqrt(3) + BD + BD

32 = CD * sqrt(3) + 2BD

Теперь нужно выразить BD через CD и решить уравнение. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:

BD^2 + CD^2 = BC^2

Так как треугольник BCD прямоугольный, то по теореме Пифагора:

BC^2 = AB^2 - AC^2

Подставляем известные значения:

BC^2 = 32^2 - (CD * sqrt(3))^2

BD^2 + CD^2 = 32^2 - (CD * sqrt(3))^2

BD^2 + CD^2 = 1024 - 3CD^2

Теперь можем выразить BD через CD:

BD = sqrt(1024 - 4CD^2) / 2

Подставляем в уравнение:

32 = CD * sqrt(3) + 2 * (sqrt(1024 - 4CD^2) / 2)

32 = CD * sqrt(3) + sqrt(1024 - 4CD^2)

Переносим слагаемое CD * sqrt(3) в левую часть:

32 - CD * sqrt(3) = sqrt(1024 - 4CD^2)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

1024 - 64CD * sqrt(3) + 3CD^2 = 1024 - 4CD^2

Переносим все слагаемые на одну сторону и сокращаем:

7CD^2 - 64CD * sqrt(3) = 0

Решаем квадратное уравнение:

CD = 0 (не подходит, так как это высота треугольника)

или

CD = 64 * sqrt(3) /